EVT on Modular Surface

06 Mar 2021

이 글에서는 Pollicott의 2009년 논문 “Limiting distributions for geodesics excursions on the modular surface” [4]의 내용을 정리한다.

• 2021.3.21 수정: 이 논문에서 일부 gap을 발견하였으며, 이를 해소하기 위해서는 statement를 고칠 필요가 있다. Pollicott의 EVT는 본 글에 서술된 식이 아닌, 다음 글에서 서술한 식으로 생각한다. 해당 식을 사용하더라도 본 글의 내용은 크게 달라지지 않는다.

What is Extreme Value Theorem(EVT)?

우선 EVT가 무엇인지부터 짚고 넘어가자. EVT는 원래 중심극한정리, 큰 수의 법칙 등과 같이 확률론에서 유래된 문제이다. 어떤 random process가 주어져 있을 때, 각 state들은 시간이 지남에 따라 process를 따라서 이동할 것이다. 이때, 이 state들이 그리는 궤적의 ‘extreme value’의 분포는 어떻게 될까? 즉, 초기 지점에 대한 편차의 최댓값의 분포를 관찰하는 것이다. 더 정확히 적으면 다음과 같다.

확률공간의 초기 state $v(0)$에 대해 $t$초 후 state를 $v(t)$라고 하자. 시간 $T$에 관한 함수 $N$에 대해, $T\to\infty$일 때

\[\sup_{0\le t\le T} d(v(t),v(0)) \le N\]

일 확률은 얼마인가?

여기서 random process를 geodesic flow로 바꿔주면 동역학의 문제와 같이 볼 수 있다. Noncompact space $X$ with finite measure $m$에 대해, $X$의 unit tangent bundle $T^1X$에 Liouville measure $\mu$를 주자. ($d\mu = dmd\theta$로 생각하면 된다) 이제 다음과 같은 문제를 생각한다.

Geodesic ray 중 시간 $[0,T]$ 동안 최대 거리 $N$의 영역 안에만 머무는 것의 비율은 얼마나 되는가? 즉, $v(t)$가 geodisic일 때 다음의 값은 얼마인가?

\[\lim_{T\to\infty} \mu\left\{ v(0)\in T^1 X : \sup_{0\le t\le T} d(v(t),v(0)) \le N \right\}\]

이와 같은 형태의 문제에 대한 답을 모두 extreme value theorem(EVT)라고 부른다.

Pollicott’s EVT and Behavior of Geodesic Excursion

Pollicott은 modular surface $X = \mathbb{H}/SL_2(\mathbb{Z})$ 위의 geodesic flow에 관한 EVT를 해결하였다. Pollicott의 EVT는 다음과 같은 형태를 가진다.

\[\begin{equation}\lim_{T\to\infty} \mu\left\{ v(0)\in T^1 X : \sup_{0\le t\le T} d(v(t),v(0)) - \log T \le \log\frac{6y}{\pi} \right\} = e^{-\frac{1}{y}}\tag{1}\end{equation}\]

여담으로, 이 EVT를 증명하면 어디에 써먹을 수 있는지를 잠시 보자. Pollicott은 다음과 같은 (almost everywhere) asymptotic behavior를 제시하고 있다. (이는 Sullivan이 1982년에 증명한 내용이다 [1].)

거의 모든 $v(0) \in T^1X$에 대해, 다음이 성립한다.

\[\begin{equation} \limsup_{t\to\infty} \frac{d(v(t),v(0))}{\log t} = 1 \tag{2}\end{equation}\]

증명은 간단한 편이다. 천천히 따라가 보자. $\le$ 방향과 $\ge$ 방향으로 나누어 보인다.

• $\le$ 방향은 Borel-Cantelli lemma에 의해 보여진다. 이 부분 논문 표현이 조금 명확하지가 않은데 (“trivial direction, following immediately from the Borel-Cantelli lemma”), 아마 EVT를 쓰지 않더라도 Sullivan [1]이 증명한 방식이 충분히 간단하다는 의미인 것 같다.

  우선 $x = i\in \mathbb{H}$를 고정하면, $\limsup\frac{d(v(t),v(0))}{\log t} = \limsup\frac{d(v(t),x)}{\log t}$이므로 $d(v(t),x)$로 식을 고쳐도 상관 없다. 이제 적당한 상수 $C>0$에 대해, 모든 $t$와 충분히 큰 모든 $N$에 대해서 다음이 성립함을 보이자.

  \[\begin{equation}\mu(E_{t}) = \mu\left\{ v(0)\in T^1X : d(v(t),x) \ge N \right\} < Ce^{-N}\tag{3}\end{equation}\]

  그런데 geodesic flow는 부피를 보존하므로, 다음을 보여도 된다.

  \[\mu\left\{ v(0)\in T^1X : d(v(0),x) \ge N \right\} < Ce^{-N}\]

  이제 그림을 그려보면, 원하는 집합은 충분히 큰 $N$에 대해 다음과 같다.

  그 부피는 대략 다음과 같을 것이므로, 나머지 디테일은 적당히 채울 수 있을 것이다.

  \[\begin{align*} \mu\left\{ v(0)\in T^1X : d(v(0),x) \ge N \right\} & \approx \int_0^{2\pi} \int_{e^N}^\infty \int_{-1}^1 \frac{1}{y^2} dxdyd\theta \\ & = 4\pi e^{-N} \end{align*}\]

  임의의 $\epsilon>0$에 대해, 거의 모든 $v(0)\in T^1 X$에 대해서, $d(v(n),x) \ge (1+\epsilon)\log n$인 양의 정수 $n$이 유한함을 보이자. 그러면 $t$가 커짐에 따라 $\frac{d(v(t),x)}{\log t}$의 변동 폭이 작아지므로 증명이 끝날 것이다. 그런데 $(3)$에서 $t = n$, $N = (1+\epsilon)\log n$으로 두면 $\sum\mu(E_n) < Cn^{-(1+\epsilon)} < \infty$이고, 따라서 Borel-Cantelli lemma에 의해 $\displaystyle\limsup_{n\to\infty} E_n$이 null set이 되어 증명이 끝난다.

• $\ge$ 방향은 기초적인 측도 논의를 통해 보일 수 있다. (논문에는 디테일이 조금 생략되어 있다.) 귀류법을 쓰면, 다음을 만족하는 $\epsilon_1,\epsilon_2>0$이 존재한다.

  \[\mu\left\{ v(0)\in T^1X : \limsup_{t\to\infty} \frac{d(v(t),v(0))}{\log t} \le 1-\epsilon_1 \right\} \ge \epsilon_2\]

  이제 위 집합에 속한 각 $v(0)$에 대해, 다음을 만족하는 $T_0, T_1$을 잡을 수 있다. 특히, compact subset $K$ 위에서는 이들을 uniform하게 잡아줄 수 있다.

  \[\sup_{t \ge T_0} \frac{d(v(t),v(0))}{\log t} \le 1 - \frac{\epsilon_1}{2}\] \[\sup_{0\le t\le T_0} d(v(t),v(0)) \le \left(1-\frac{\epsilon_1}{2}\right)\log T_1\]

  이제 $K$를 $\mu(K) \ge \frac{\epsilon_2}{2}$가 되도록 잡아주면, 모든 $T \ge \max\{T_0,T_1\}$에 대해 다음을 얻는다.

  \[\begin{equation}\mu\left\{ v(0)\in T^1X : \sup_{0\le t\le T} d(v(t),v(0)) \le \left(1-\frac{\epsilon_1}{2}\right)T \right\} \ge \frac{\epsilon_2}{2}\tag{4}\end{equation}\]

  한편, Pollicott의 EVT $(1)$을 보면, 임의의 $y>0$에 대해 어떤 $T_y$가 존재해서, 모든 $T\ge T_y$에 대해 다음이 성립한다.

  \[\begin{equation}\left\lvert \mu\left\{ v(0)\in T^1 X : \sup_{0\le t\le T} d(v(t),v(0)) - \log T \le \log\frac{6y}{\pi} \right\} - e^{-\frac{1}{y}}\right\rvert < \frac{\epsilon_2}{4}\tag{5}\end{equation}\]

  이제 $e^{-\frac{1}{y}}<\frac{\epsilon_2}{4}$가 되도록 $y$를 충분히 크게 잡고, $\frac{\epsilon_1}{2}\log T + \log\frac{6y}{\pi} > 0$이 되도록 $T \ge \max\{T_0,T_1,T_y\}$를 충분히 크게 잡으면 $(4),(5)$에서 모순이 생긴다.

Galambos’ EVT on Continued Fraction

Hyperbolic space의 동역학과 연분수 사이의 연관은 ergodic theory의 가장 기초적인 내용 중 하나이다. Pollicott 또한 다음의 연분수에 관한 Galambos의 EVT [2]를 이용하여 modular surface에서의 EVT를 증명하고 있으며, 사실상 이것이 Pollicott의 EVT의 실질적인 함의라고 할 수 있다.

\[\begin{equation}\lim_{N\to\infty} \mu\left\{ x\in[0,1] : \max_{1\le n\le N} a_n \le \frac{y}{\log 2}N \right\} = e^{-\frac{1}{y}}\tag{6}\end{equation}\]

Galambos의 EVT에 관해서는 다음 글에서 다룬다. 한편, 앞에서 Sullivan의 asymptotic behavior formula를 증명하는 방식을 따라하면, 연분수에 관해서도 다음과 같은 analogue를 얻을 수 있다.

Gauss measure $\mu$에 대해, 거의 모든 $x\in[0,1]$에 대하여 다음이 성립한다.

\[\limsup_{N\to\infty} \frac{\max_{1\le n\le N} \log a_n}{\log N} = 1\]

이때 $\ge$ 방향은 똑같이 증명할 수 있지만, $\le$ 방향은 $(3)$의 analogue가 필요하다. 이는 다음과 같이 주어지며, Gauss map의 ergodicity와 Birkhoff ergodic theorem을 이용하여 쉽게 증명할 수 있다.

모든 $n,N\in\mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.

\[\begin{equation}\mu\left\{ x \in [0,1] : a_n \ge N \right\} = \frac{\log(1+\frac{1}{N})}{\log 2}\tag{7}\end{equation}\]

$N$ 대신 $e^N$을 넣으면, $\log(1+e^{-N}) \approx e^{-N}$이므로 같은 형태라는 것을 알 수 있다.

Proof of Pollicott’s EVT

이제 Galambos의 EVT를 이용하여 Pollicott의 EVT를 증명해보자. 지난 글에서 살펴본 geodesic flow와 연분수의 관계를 다시 보자.

우리가 원하는 것은 어떤 geodesic이 초기 지점에서 가장 멀리 떨어진 지점까지의 거리에 관한 식이다. 이 geodesic의 양 끝점을 다시 $-y$, $\frac{1}{x}$라고 두자. 가장 멀리 떨어진 지점은 결국 cusp쪽으로의 excursion을 이야기하는 것이고, 이는 각 단계에서 허수축으로 가장 멀리 떨어진 지점으로 근사할 수 있다. 그런데 geodesic이 반원이므로, 이때 허수 성분은 원의 반지름이고, hyperbolic distance는 여기에 log를 취한 값이 될 것이다. 이때 원의 지름이 약 $a_n(x)$이므로, $n$단계에서 최대 excursion의 크기는 약 $\log a_n$으로 근사할 수 있다.

그러면 $n$단계까지 걸리는 시간은 얼마일까? 이는 return-time function $r(x,y)$에 대해 $\sum_{i=0}^{n-1}r(\overline{T}^i(x,y))$로 주어진다. 그런데 지난 글에서 $r(x,y) = -2\log x$로 재정의해도 무관하다고 하였고, 또한 Birkhoff ergodic theorem에 의해 다음을 얻는다. ($\mu$는 Gauss measure)

\[\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}r(\overline{T}^i(x,y)) \xrightarrow{n\to\infty} \int_0^1r(x,y)d\mu(x) = \frac{\pi}{6\log 2}\]

따라서 $n$단계 excursion까지 걸리는 시간은 $\frac{\pi}{6\log 2}n$으로 근사할 수 있다.

이제 Galambos의 EVT를 적용하면, 다음과 같이 Pollicott의 EVT를 보일 수 있다.

\[\begin{align*} &\lim_{T\to\infty} \mu\left\{ v(0)\in T^1 X : \sup_{0\le t\le T} d(v(t),v(0)) \le \log\left(\frac{6y}{\pi}T\right) \right\} \\ &= \lim_{N\to\infty} \mu\left\{ x\in[0,1] : \max_{1\le n\le N} \log a_n \le \log \left(\frac{y}{\log 2}N\right) \right\} \tag{8}\\&= \lim_{N\to\infty} \mu\left\{ x\in[0,1] : \max_{1\le n\le N} a_n \le \frac{y}{\log 2}N \right\} \\ &= e^{-\frac{1}{y}} \end{align*}\]

• 2021.3.21 수정: 사실 $(8)$의 등식은 gap이 있다. 우리는 $T$와 $N$ 사이에 asymptotic한 관계만 보였는데, 위 등식에서는 이들이 서로 같은 것처럼 조작하고 있다. 이 부분을 엄밀하게 계산하려면 CLT를 적용해야 하는데, 이는 다음 글을 참조한다.

Further Studies

Pollicott은 $SL_2(\mathbb{Z})$의 finite index subgroup인 principal congruence subgroup $\Gamma = \Gamma(m)$에 대해서도 비슷한 형태의 EVT를 보일 수 있다고 설명한다. $\mathbb{H}/\Gamma(m)$의 geodesic은 연분수를 $\bmod m$으로 보는 것과 analogy를 가진다. 이때 equidistribution을 통해 $(7)$의 analogue를 찾고, mixing condition을 찾아서 Galambos’ EVT의 analogue를 찾으면 비슷한 논리를 적용할 수 있다.

한편, Sullivan이 제시한 geodesic excursion의 asymptotic behavior는 사실 principal congruence subgroup뿐만 아니라 모든 Fuchian group $\Gamma$에 대해 $\mathbb{H}/\Gamma$에서도 성립하는 내용이다. (즉, $m(\mathbb{H}/\Gamma)<\infty$인 모든 discrete subgroup $\Gamma \le SL_2(\mathbb{R})$에 대해 성립한다) 그렇다면 Pollicott의 것과 같은 EVT는 어떤 Fuchsian group에 대해서 보여질 수 있을까?

References

[1] D. Sullivan, Disjoint spheres, approximation by imaginary quadratic numbers, and the logarithm law for geodesics. Acta mathematica 149 (1982), 215-237.

[2] J. Galambos, The distribution of the largest coefficient in continued fraction expansions, The Quarterly Journal of Mathematics 23 (1972), 147-151.

[3] M. Einsiedler and T. Ward, Ergodic theory, Springer London Limited, 2013.

[4] M. Pollicott, Limiting distributions for geodesics excursions on the modular surface, Contemporary Mathematics 14 (2009), 177-185.

[5] S. Kwon, and S. Lim, Limiting distribution of geodesics in a geometrically finite quotients of regular trees, arXiv preprint arXiv:1901.09514 (2019).