CLT and gaps in Pollicott's EVT

21 Mar 2021

이 글에서는 Pollicott의 2009년 논문 “Limiting distributions for geodesics excursions on the modular surface” [1]의 gap과 이를 해소하기 위한 시도에 관해 다룬다.

‘Proof’ of Pollicott’s EVT

지난 글에서 살펴본 Pollicott EVT의 증명을 돌아보자. Pollicott은 geodesic flow에 관한 자신의 EVT가 연분수에 관한 Galambos의 EVT와 실질적으로 같음을 보임으로써 EVT를 증명하였다.

조금 더 자세히 적으면, geodesic coding을 볼 때, $n$단계에서 시간은 return-time function $r(x,y)$에 대해 $\sum_{i=0}^{n-1}r(\overline{T}^i(x,y))$로 주어지고, geodesic excursion은 대략 geodesic의 높이로 볼 수 있을 것이다. 일단 앞으로의 표기의 편의를 위해 $T_n = \sum_{i=0}^{n-1}r(\overline{T}^i(x,y))$로 적자. 이때 시간 $T_n$은 ergodic theorem에 의해 $\frac{\pi}{6\log 2}n$으로 근사되고, 높이는 약 $\log a_n$이므로 Galambos EVT의 두 항을 Pollicott EVT의 두 항으로 바꿔치기 할 수 있다는 것이다.

\[\begin{align*} &\lim_{T\to\infty} \mu\left\{ v(0)\in T^1 X : \sup_{0\le t\le T} \exp(d(v(t),v(0))) \le \frac{6y}{\pi}T \right\} \\ &= \lim_{N\to\infty} \mu\left\{ x\in[0,1] : \max_{1\le n\le N} a_n \le \frac{y}{\log 2}N \right\}\\ &= e^{-\frac{1}{y}} \end{align*}\]

그런데 이거, 전혀 당연하지가 않다. 애초에 연분수와 geodesic excursion에 관한 두 항들은 각각 서로 같은 것이 아니라, asymptotic하게만 같은 것이다. 이 둘의 오차가 얼마나 날지도 모르는데 단지 $T\to\infty$라고 해서 이를 갈아치워도 되는 것일까? 그리고 우리가 한 논의는 ‘$n$번째 단계’에 대해서만 한 것이기에, discrete한 시간 단위에서만 성립하는 논의이지 모든 $T$에 대해서 할 수 있는 논의가 아니다. 즉, $N\to\infty$를 $T\to\infty$로 고쳐도 되는 것일까?

정리하면, Pollicott 논문의 gap을 메우기 위해 필요한 논의는 다음 세 가지로 요약할 수 있다.

• Step 1: $\frac{y}{\log 2}N$을 $\frac{6y}{\pi}T_N$으로 고쳐도 되는가
• Step 2: $\max_{1\le n\le N} a_n$을 $\sup_{1\le t\le T_N} \exp(d(v(t),v(0)))$으로 고쳐도 되는가
• Step 3: $N\to\infty$($T_N\to\infty$)를 $T\to\infty$로 고쳐도 되는가

결론을 스포일러하자면, Step 1은 중심극한정리를 전제하면 해결되고, Step 3는 잘 해결되지만, Step 2에서 문제가 조금 심각해진다.

Central Limit Theorem

우선 Step 1을 해결하기 위해, 중심극한정리(CLT)가 무엇인지 알아보자. 고전적인 CLT는 다음과 같이 주어진다.

$(X_n)\subscr{n\in\mathbb{N}}$이 같은 확률분포를 따르고 서로 독립(i.i.d.)이라고 하자. 확률분포의 기댓값이 $\mu$, 분산이 $\sigma^2$일 때, 표본평균 $\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum\subscr{i=1}^n X_i$의 분포는 정규분포 $N(\mu,\sigma^2)$으로 수렴한다.

이때 분포가 수렴한다는 것은, 누적확률분포함수가 pointwise하게 수렴한다는 의미이다. 즉, $Z \sim N(\mu,\sigma^2)$일 때, 모든 $x$에 대해 다음이 성립한다.

\[P(\overline{X}_n \le x) \xto{n\to\infty} P(Z \le x)\]

물론 우리의 문제 상황에서는 i.i.d. 조건이 성립하지 않는다. $T_n = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}r(\overline{T}^i(x,y))$에 대해 CLT를 적용하고 싶은데, $\overline{T}$가 m.p.t.이므로 $r(\overline{T}^i(x,y))$의 확률분포는 서로 같겠으나, 이들이 서로 독립인 것은 아니다. 하지만 이들의 종속성은 매우 약할 것으로 기대할 수 있다. 확률변수 사이의 mixing을 다른 말로 asymptotically independent라고 했던 것처럼, 확률변수들 사이에 적당한 mixing 조건이 주어지면 이들에 대해서도 CLT를 얻을 수 있다.

Modular surface의 geodesic flow에 관해서 CLT가 성립함이 알려져 있다고 하니, 이후 내용에서는 다음을 가정하자.

어떤 상수 $\sigma>0$에 대해, 다음 확률변수의 분포는 $N\to\infty$일 때 정규분포 $N(0,1)$로 수렴한다.

\[Z_N = \frac{T_N - \frac{\pi}{6\log 2}N}{\sigma\sqrt{N}}\]

Step 1: $N$ to $T_N$

본격적인 증명 전에, Galambos의 EVT에 관한 간단한 note를 언급한다. Galambos의 EVT는 다음과 같은 형태였다.

\[\lim_{N\to\infty} \mu\left\{ x\in[0,1] : \max_{1\le n\le N} a_n \le \frac{y}{\log 2}N \right\} = e^{-\frac{1}{y}}\]

이때 부등식 우변의 $\frac{y}{\log 2}N$에 $o(N)$의 오차가 생겨도 같은 결과를 얻을 수 있다. 이는 $y$ 자리에 $y\pm\epsilon$을 넣어서 EVT를 적용한 뒤, $\epsilon\to0$으로 샌드위치를 적용하면 간단히 보일 수 있다. 따라서 앞으로는 다음과 같은 형태의 Galambos EVT를 생각한다.

\[\lim_{N\to\infty} \mu\left\{ x\in[0,1] : \max_{1\le n\le N} a_n \le \frac{y}{\log 2}N + o(N) \right\} = e^{-\frac{1}{y}}\tag{1}\]

Step 1에서 CLT가 필요한 이유는 무엇일까? 이는 $N$과 $T_N$ 사이의 asymptotic behavior의 오차를 다루기 위해서이다. CLT가 주어지면 $T_N$의 분포를 안다는 것이고, 이는 asymptotic behavior의 오차가 큰 영역의 measure를 원하는만큼 줄일 수 있다는 것이다. 그리고 오차가 작은 영역에서는 $(1)$의 EVT를 이용해서 오차를 무시할 수 있다.

더 엄밀하게 적어보자. 우선 $\epsilon>0$을 고정하자. 이때 CLT에 의해, 어떤 $C>0$과 $N_0$이 존재하여, 모든 $N\ge N_0$에 대해 다음이 성립하게 할 수 있다.

\[\mu(B_N) \ge 1 - \epsilon \quad\text{ where }\quad B_N = \left\{ x\in[0,1] : \lvert Z_N \rvert \le \frac{C}{\sigma} \right\}\]

이때 집합 $B_N$을 $T_N$에 대해 다시 적으면 다음과 같다.

\[B_N = \left\{ x\in[0,1] : \left\lvert T_N - \frac{\pi}{6\log 2}N \right\rvert \le C\sqrt{N} \right\}\]

즉, $T_N$이 그 기댓값 $\frac{\pi}{6\log 2}N$과 크게 차이나는 영역을 $\epsilon$의 measure로 컨트롤할 수 있다는 것이다. 이 부분은 마지막에 $\epsilon\to0$을 취해주면 되니, 더 이상 신경 쓸 필요가 없다.

이제 나머지 부분을 보자. 우리가 관심이 있는 집합은 다음과 같다.

\[A_N = \left\{ x\in[0,1] : \max_{1\le n\le N}a_n \le \frac{6y}{\pi}T_N \right\}\]

그런데 우리가 $B_N$ 안에서는 $T_N$의 오차를 조절할 수 있으니, 다음의 두 집합 $A_N’$, \(A_N’’\)을 이용하여 $A_N$을 샌드위치할 수 있다.

\[A_N'\cap B_N \subseteq A_N\cap B_N \subseteq A_N''\cap B_N\] \[\begin{align*} \text{ where }\quad A_N' &= \left\{ x\in[0,1] : \max_{1\le n\le N}a_n \le \frac{y}{\log 2}N - \frac{6yC}{\pi}\sqrt{N} \right\}, \\ A_N'' &= \left\{ x\in[0,1] : \max_{1\le n\le N}a_n \le \frac{y}{\log 2}N + \frac{6yC}{\pi}\sqrt{N} \right\} \end{align*}\]

이제 $(1)$의 EVT를 적용하면, 어떤 $N_1$이 존재해서 모든 $N \ge N_1$에 대해 다음이 성립한다.

\[\lvert \mu(A_N') - e^{-\frac{1}{y}} \rvert < \epsilon , \quad \lvert \mu(A_N'') - e^{-\frac{1}{y}} \rvert < \epsilon\]

이를 종합하면, 모든 $N \ge \max\{N_0,N_1\}$에 대해 다음이 성립하게 된다.

\[\lvert \mu(A_N) - e^{-\frac{1}{y}} \rvert < 3\epsilon\]

따라서 다음을 얻게 되어 Step 1의 증명이 끝난다.

\[\lim_{N\to\infty} \mu\left\{ x\in[0,1] : \max_{1\le n\le N} a_n \le \frac{6y}{\pi}T_N \right\} = e^{-\frac{1}{y}}\]

물론 논의를 조금 수정하면, 이 식의 부등식 우변에도 $o(N)$의 오차항을 추가할 수 있다.

Step 3: $T_N$ to $T$

일단 Step 2를 무사히 잘 해결했다고 치고, Step 3를 먼저 보자. 즉, 우리에게 다음의 EVT가 주어져있다고 생각하자.

\[\lim_{N\to\infty} \mu\left\{ v(0)\in T^1 X : \sup_{0\le t\le T_N} \exp(d(v(t),v(0))) \le \frac{6y}{\pi}T_N + o(N) \right\} = e^{-\frac{1}{y}} \tag{2}\]

이제 우리가 원하는 것은, 위 극한을 모든 $T$에 대해 확인하여 $N\to\infty$를 $T\to\infty$로, $T_N$을 $T$로 고치는 것이다.

이 부분도 Step 1과 비슷한 아이디어를 적용하여 해결할 수 있다는 것을 알 수 있다. 여기서도, 우리가 관심이 있는 집합은 다음의 집합이다.

\[A_T = \left\{ v(0)\in T^1X : \sup_{0\le t\le T}\exp(d(v(t),v(0))) \le \frac{6y}{\pi}T \right\}\]

한편 $(T_N)$이 단조증가하므로, $T_N \le T < T_{N+1}$인 $N$을 유일하게 찾을 수 있다. 그리고 이 $N$에 대해, 다음과 같은 두 집합을 생각하자.

\[\begin{align*} &\left\{ v(0)\in T^1X : \sup_{0\le t\le T_N}\exp(d(v(t),v(0))) \le \frac{6y}{\pi}(T_N + r(\overline{T}^N(x,y))) \right\}, \\ &\left\{ v(0)\in T^1X : \sup_{0\le t\le T_{N+1}}\exp(d(v(t),v(0))) \le \frac{6y}{\pi}(T_{N+1}-r(\overline{T}^N(x,y))) \right\} \end{align*}\]

이때 집합 $A_T$에서 부등식의 양 변이 모두 $T$에 대해 단조증가하는 형태이므로, $A_T$는 위의 두 집합 사이에 샌드위치 된다는 것을 알 수 있다. 따라서 $r(\overline{T}^N(x,y))$의 오차만 조절할 수 있다면, Step 1과 같은 논의를 할 수 있는 것이다. 물론 우리는 $r(\overline{T}^N(x,y))$의 분포를 알고 있으므로 (그리고 이는 $N$에 대해 불변이므로), 고정된 $\epsilon>0$에 대해 다음이 항상 성립하는 상수 $C$를 찾을 수 있다.

\[\mu(B_N) \ge 1-\epsilon \quad\text{ where }\quad B_N = \left\{ v(0)\in T^1X : r(\overline{T}^N(x,y)) \le C \right\}\]

이제 앞의 두 집합에서 $r(\overline{T}^N(x,y))$를 $C$로 고치면 $(2)$의 EVT를 적용할 수 있으므로, 이 뒤의 논의는 Step 1과 거의 같아진다.

Step 2: $\max a_n$ to $\sup \exp(d(v(t),v(0)))$…?

마지막으로 문제가 많은 Step 2를 보자. 우리에게는 다음의 EVT가 주어져 있다.

\[\lim_{N\to\infty} \mu\left\{ x\in[0,1] : \max_{1\le n\le N} a_n \le \frac{6y}{\pi}T_N + o(N) \right\} = e^{-\frac{1}{y}}\tag{3}\]

그리고 이로부터 다음과 같은 EVT를 얻어내야 한다.

\[\lim_{N\to\infty} \mu\left\{ v(0)\in T^1 X : \sup_{0\le t\le T_N} \exp(d(v(t),v(0))) \le \frac{6y}{\pi}T_N \right\} = e^{-\frac{1}{y}} \tag{4}\]

앞의 논의와 같은 방법을 유지한다면, 우리에게 주어진 과제는 $\sup_{0\le t\le T_N}\exp(d(v(t),v(0)))$을 $o(N)$ (또는 $o(N)$ except on $\epsilon$-set)의 정확도로 $\max_{1\le n\le N}a_n$으로 근사하는 것이다.

그런데 이게 잘 안 된다. 일단, $\sup\exp(d(v(t),v(0)))$은 $\max a_n$이 아니라 $\max\frac{a_n}{2}$ 스케일이다. 앞의 geodesic excursion 그림을 다시 가져오자.

위 그림에서, geodesic의 $y$좌표의 최댓값은 원의 반지름에 해당하므로, 약 $\frac{a_n}{2}$이다. 그리고 $\exp(d(v(t),v(0)))$은 유클리드 거리와 비슷하므로, 곧 $\frac{a_n}{2}$와 비슷하다는 것을 알 수 있다. 따라서 사실 우리가 보일 EVT의 상수는 다음과 같이 수정되어야 한다.

\[\lim_{N\to\infty} \mu\left\{ v(0)\in T^1 X : \sup_{0\le t\le T_N} \exp(d(v(t),v(0))) \le \frac{3y}{\pi}T_N \right\} = e^{-\frac{1}{y}} \tag{4$'$}\]

이걸 수정하려면 지난 포스팅에서 Pollicott의 EVT를 사용하는 부분을 모두 수정해야 하겠지만… Sullivan의 asymptotic behavior를 증명할 때 문제가 되는 부분은 없으니 그대로 두도록 하자.

또 다른 문제도 생기는데, 이는 $\log \frac{a_n}{2}$는 $d(v(t),v(0))$이 아니라, $v(t)$와 $(i,i)$ 사이의 수직방향 거리만을 어림하는 것이기 때문이다. 따라서 총 세 군데의 오차가 발생하는데, (1) $(i,i)$와 $v(0)$ 사이의 거리, (2) $v(t)$와 $(i,i)$ 사이의 각도방향 거리, (3) $v(t)$와 $(i,i)$ 사이의 수평방향 거리의 오차가 생기게 된다.

그런데 우리는 (1) $(i,i)$와 $v(0)$ 사이의 거리를 만족스럽게 컨트롤할 수가 없다. 이는 $v(0)$가 $T^1X$ 전체에 분포할 수 있기 때문이다. $\epsilon$-set의 아이디어를 이용하여, $T^1X$의 compact subset을 잡고 그 안의 $v(0)$에 대해서만 논의를 진행해볼 수도 있을 것이다. 하지만 이 경우, 삼각부등식을 생각하면 $d(v(t),v(0))$의 어림에 $d(v(0),(i,i)) = O(1)$의 오차가 생기는데, 이는 $\exp(d(v(t),v(0)))$의 어림에서 $O(N)$의 오차가 되어 EVT를 적용할 수 없게 된다.

따라서 우리는 두 가지 중 하나를 선택해야 하는데, 하나는 각 $v(0)$마다 (오차항이 달라지므로) $T_N$ 앞에 붙는 상수를 다르게 선택하는 것이고, 다른 하나는 EVT를 $d(v(t),(i,i))$에 관한 식으로 고치는 것이다. 물론 전자는 더이상 EVT라고 볼 수 없으므로, 후자를 선택하면 이제 우리는 다음과 같은 EVT를 보여야 한다.

\[\lim_{N\to\infty} \mu\left\{ v(0)\in T^1 X : \sup_{0\le t\le T_N} \exp(d(v(t),(i,i))) \le \frac{3y}{\pi}T_N \right\} = e^{-\frac{1}{y}} \tag{4$''$}\]

이제 나머지 오차를 보자. 그런데 우리는 (2) $v(t)$와 $(i,i)$ 사이의 각도방향 거리 역시 만족스럽게 컨트롤할 수가 없다. 이는 마찬가지로 $v(t)$의 방향이 조금 틀어지면 $O(1)$의 거리 오차가 생겨서, $\exp(d(v(t),v(0)))$의 어림에서 $O(N)$의 오차로 이어지기 때문이다. 따라서 우리는 더이상 $T^1X$ 위의 distance $d$를 생각할 수 없고, $d$를 $X$ 위의 distance로 보아야 한다.

마지막 (3) $v(t)$와 $(i,i)$ 사이의 수평방향 거리의 오차는 다행히도 컨트롤이 가능하다. 삼각부등식을 생각하면, hyperbolic distance에서 $O(e^{-a_n/2})$의 오차가 생기게 된다. 이제 $\exp$를 취하면, $e^x \approx 1+x$이므로, $O(\frac{a_n}{2}(e^{e^{-a_n/2}}-1)) = O(a_ne^{-a_n/2})$의 오차가 생긴다. Galambos EVT를 이용하면 $a_n$이 $O(N)$보다 큰 영역의 measure를 $\epsilon$-set으로 제한할 수 있고, 나머지 영역에서는 오차가 $O(Ne^{-N/2}) = o(N)$이 되므로, EVT를 보일 수 있다.

Re-stated Pollicott’s EVT

앞의 증명을 종합하면, gap을 제거한 Pollicott의 EVT는 다음과 같이 state되어야 한다.

\[\lim_{T\to\infty} \mu\left\{ v(0)\in T^1 X : \sup_{0\le t\le T} d(v(t),x) - \log T \le \log\frac{3y}{\pi} \right\} = e^{-\frac{1}{y}}\tag{5}\]

이때 $x=(i,i)\in T^1X$이고, $d$는 $X$ 위의 거리함수다.

위 수정된 정리를 이용해서 지난 글 전체를 다시 적어야겠지만, Sullivan의 asymptotic behavior의 증명에서 문제가 되는 부분은 없으니 그대로 두기로 한다.

References

[1] M. Pollicott, Limiting distributions for geodesics excursions on the modular surface, Contemporary Mathematics 14 (2009), 177-185.